本文介绍了欧拉公式的发现历史及其在微分方程等方面的应用，从作者个人角度阐述了其优美之处。
引言
数学家欧拉是如此聪慧而多产，以至于以他名字命名的公式、定理、方程等数不胜数，且都意义非凡。材料力学里有欧拉压杆公式，流体力学里有欧拉方程，拓扑学里有多面体的边角面关系的欧拉公式……然而，提到欧拉公式，我们的第一反应多还是那个耳熟能详的欧拉复数公式：$e^{i x} = \cos x + i \sin x$。自1748年提出以来，它在现代数学中获得了数不清的应用。
欧拉公式的历史
正如《科学革命的结构》中指出的那样，新的科学发现往往是由多位研究者几乎同时作出的。欧拉公式也不例外。早在1702年，老约翰·伯努利（Johann Bernoulli，欧拉的老师）就注意到了
$$\frac{\mathrm d z}{1+z^2} = \frac{\mathrm d z}{2(1+z\sqrt{-1})} +\frac{\mathrm d z}{2(1-z\sqrt{-1})}$$
注意当时他还没有使用虚数单位$i$这一符号。然而，伯努利对微积分的误解导致他未能得到进一步的结果。
1714年，Cotes发现了[1]
$$\log (\cos x + i \sin x) = ix $$
好巧不巧，这位英国数学家是Newton的同事，发明了数值积分的Newton-Cotes公式。与之相对应地，伯努利是莱布尼茨的好友，曾参与微积分发明者的辩论。欧拉公式，与微积分一样由隔岸相对的两派人马，在同一时期相继提出。
随后，Euler在1740年左右得到了指数形式的表达，并在1748年首次发表。
$$e^{i x} = \cos x + i \sin x$$
$$e^{i \pi} = -1$$
形式上，它简练优美，将两个无理数$\pi, e$、三角函数与指数函数、实数与虚数联系了起来。后来，人们给出了许多种证明方式，许多证明方法的形式也十分优美。
欧拉公式的应用
欧拉公式可以完成指数函数与三角函数的相互转换，表示周期与非周期的量，其微分和积分的性质也简洁优美。因此，在微分方程中，常将解函数设为指数函数的形式，这使得微分与积分十分简单，无论是常微分方程，还是偏微分方程，都常用指数函数或指数函数的组合形式（例如分离变数法）作为形式解；在进行积分变换与信号处理时，也能看到欧拉公式的身影，例如Fourier变换、Laplace变换等；渐近分析中，也常用其作为级数展开时的基函数——终于有一种工具能同时表征各种数量级、各种变化规律的函数，同时又方便数学运算了。
以振动力学为例，欧拉公式的引入，让方程的形式大大简化——至少我们不用写那么多三角函数了。事实上，凡是涉及振荡的地方都有它的身影。量子力学中的波函数、交流电路中的电压电流变化、电磁学与连续介质力学中的波……数不胜数。
进一步地，随着对动力系统的研究，它也在稳定性分析中应用颇多——指数恰好是特征值，实部表征了收敛与发散，虚部表征了振荡周期。观察特征值的分布与变化趋势，是稳定性分析的一种方法——根轨迹法。动力学的应用也颇广，从上天到下海，从精微到广大，处处可见。非线性动力学仍是非线性科学中的重要方向。
在复分析中，欧拉公式的应用更无须多言，从其形式便可见一斑。值得一提的是，
如果我们从群论的角度理解，欧拉公式中的指数运算将复数加法群与复数乘法群联系在了一起[2]。指数对应着加法群中的运算；底数的大小决定了旋转的角度。而$e$的特别之处，就是它刚好使得虚数单位的大小与旋转角度（以弧度为单位）的大小一一对应。从这一角度理解，我们同样也能写出欧拉公式：将复空间旋转$\pi$弧度的操作，恰为$1+0 i$到$-1+0 i$的映射。
参考文献
[1] STILLWELL J. Mathematics and Its History[M]. Springer Science & Business Media, 2010.
[2] 3Blue1Brown. Euler’s formula with introductory group theory[EB/OL]. 2017 [2024-12-19]. https://www.youtube.com/watch?v=mvmuCPvRoWQ.
发表日期： 2024-12-22
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